Proposiciones y tablas de verdad

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Desarrollo teórico

Proposición simple

Llamamos proposición a toda expresión de la cual tiene sentido decir si es verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez. A ese carácter de verdadera o falsa lo llamamos valor de verdad de la proposición.

No son proposiciones las oraciones desiderativas (expresan un deseo: «Ojalá apruebe»), las imperativas (dan una orden: «Abrí el libro»), las interrogativas («¿Aprobaste?») ni las exclamativas («¡Qué difícil!»), porque ninguna de ellas puede calificarse como verdadera o falsa.

Cuando se vinculan dos o más proposiciones simples (o atómicas) mediante un conectivo lógico se obtiene una proposición compuesta. El valor de verdad de la proposición compuesta queda determinado por los valores de verdad de las proposiciones simples que la forman, según el conectivo utilizado.

Negación (¬p, también anotada ~p)

Es la proposición que resulta de anteponer a p una expresión como «es falso que…» o «no es cierto que…». Si p es verdadera, ¬p es falsa; si p es falsa, ¬p es verdadera.

p	¬p
V	F
F	V

Conjunción (p ∧ q)

Se lee «p y q». Es verdadera únicamente cuando ambas proposiciones simples son verdaderas.

p	q	p ∧ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Disyunción incluyente (p ∨ q)

Se lee «p o q», en sentido incluyente: admite que se cumpla una de las dos proposiciones, o ambas a la vez. Solo es falsa cuando ambas proposiciones simples son falsas.

p	q	p ∨ q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Disyunción excluyente (p ⊕ q)

Se lee «o bien p, o bien q, pero no ambas». Es verdadera únicamente cuando las dos proposiciones simples tienen distinto valor de verdad.

p	q	p ⊕ q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Ejemplo resuelto

Sean p: «Rindo el primer parcial» y q: «Apruebo la materia por promoción». La proposición «Rindo el primer parcial y apruebo la materia por promoción» se simboliza p ∧ q, y solo es verdadera si ambas cosas ocurren realmente. En cambio, «Rindo el primer parcial o apruebo por promoción» (p ∨ q) admite que ocurra una, la otra, o ambas — a diferencia de un uso excluyente del «o» en el lenguaje coloquial, que en lógica debe marcarse explícitamente.

Ejercicios propuestos

1. Identificación de proposiciones. Indicá cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones. En caso de serlo, indicá si es verdadera o falsa.

1. «7 es un número primo».
2. «¿A qué hora es el parcial?».
3. «Ojalá el profesor tome fácil».
4. «Santiago del Estero tiene más de dos millones de habitantes».
5. «Estudiá para el final».
6. «2 + 2 = 5».

2. Negación. Escribí la negación de cada proposición, en lenguaje simbólico y coloquial.

1. p: «El examen es el viernes».
2. q: «Todos los alumnos aprobaron».
3. r: «La materia tiene cuatro parciales».

3. Conjunción y disyunción. Sean p: «Rindo el parcial» (verdadera) y q: «Entrego el trabajo práctico» (falsa). Determiná el valor de verdad de cada proposición compuesta.

1. p ∧ q
2. p ∨ q
3. ¬p ∧ q
4. p ∨ ¬q
5. ¬p ∧ ¬q

4. Disyunción excluyente. Sabiendo que p es falsa y q es verdadera, determiná el valor de verdad.

1. p ⊕ q
2. ¬p ⊕ q

5. Tabla de verdad para completar. Completá la tabla de verdad de la proposición compuesta (p ∧ q) ∨ ¬p.

p	q	¬p	p ∧ q	(p ∧ q) ∨ ¬p
V	V
V	F
F	V
F	F

Respuestas

Ejercicio 1: 1) Proposición, verdadera. 2) No es proposición (interrogativa). 3) No es proposición (desiderativa). 4) Proposición, verdadera. 5) No es proposición (imperativa). 6) Proposición, falsa.

Ejercicio 2: 1) ¬p: «El examen no es el viernes». 2) ¬q: «No todos los alumnos aprobaron». 3) ¬r: «La materia no tiene cuatro parciales».

Ejercicio 3: 1) p ∧ q = F. 2) p ∨ q = V. 3) ¬p ∧ q = F. 4) p ∨ ¬q = V. 5) ¬p ∧ ¬q = F.

Ejercicio 4: 1) p ⊕ q = V (valores distintos). 2) ¬p ⊕ q = F (valores iguales).

Ejercicio 5: (V,V)→V. (V,F)→F. (F,V)→V. (F,F)→V.

[1] Bienvenidos a la primera lección de Matemática I. Antes de resolver un solo ejercicio, necesitamos un lenguaje común: el de la lógica proposicional.

[2] Una proposición es cualquier afirmación de la que podamos decir, sin ambigüedad, si es verdadera o falsa. «Santiago del Estero es la capital de la provincia» es una proposición. «¿Vas a venir a la facultad?» no lo es: es una pregunta, no se le puede asignar un valor de verdad.

[3] A partir de proposiciones simples construimos proposiciones compuestas usando conectivos: la negación, que invierte el valor de verdad; la conjunción ‘y’, que exige que se cumplan las dos condiciones a la vez; y la disyunción ‘o’, que en matemática casi siempre usamos en su sentido incluyente, permitiendo que se cumpla una, la otra, o ambas.

[4] La herramienta que vamos a usar en toda la unidad es la tabla de verdad: una forma sistemática de repasar todas las combinaciones posibles de verdadero y falso para las proposiciones simples, y ver qué resulta en cada caso para la proposición compuesta.

[5] Con esto ya podés empezar la Guía 1, apartado 1.1, ejercicios de negación, conjunción y disyunción. En la próxima lección vemos el conectivo condicional, que es el que más dolores de cabeza da — y el que más se usa para justificar teoremas.

Ejercicios propuestos

Guía Teórico-Práctica I, Unidad 1 — apartado A. Resolvé estos ejercicios para practicar lo visto en esta lección.

1. Indicá cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones. En el caso afirmativo, seleccioná además cuáles son compuestas y cuáles atómicas:
   1. “En el mes de febrero del 2012 el Hospital regional se vio colapsado por los accidentes y la atención del mismo no fue la óptima.”
   2. ¡Prohibido obstaculizar con motos la senda peatonal!
   3. “Si el peatón cruza la esquina por la senda peatonal, el vehículo se detiene.”
   4. “Podrían parar las estaciones de servicios en Santiago en semana santa.”
2. Identificá las proposiciones simples y expresalas en lenguaje lógico utilizando los conectivos que correspondan:
   1. La función identidad es una función lineal pero no es una parábola.
   2. Tanto la suma como el producto de números reales tienen neutro.
   3. Cuando Pedro llegue al trabajo, será notificado de las últimas novedades o se encargará de las tareas del día, o ambas a la vez.
   4. El tiempo es relativo o absoluto.
3. Escribí en forma simbólica las siguientes proposiciones compuestas:
   1. La beca que recibe el alumno es nacional o universitaria o ambas a la vez.
   2. Se le enviará el GPS por correo mañana o pasado.
   3. El estado le traspasa los servicios de transporte al gobierno de la ciudad y el decreto es sin subsidios o con fondos de la coparticipación.
   4. El afiliado jubilado puede optar por el IOSEP o por PAMI, pero no ambos.
4. Estudiá la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:
   p₁: El Intel 7 es un microprocesador.
   p₂: Es falso que el Pentium sea un microprocesador.
   p₃: 2 + 2 = 5
   p₄: Es falso que 2 + 2 = 5
   p₅: 2 + 2 = 4
5. Sean p, q y r las proposiciones “El auto está registrado en Bs As”, “El último dígito de la patente es par” y “El auto está inhibido”. Expresá en forma coloquial las siguientes proposiciones dadas en forma simbólica:
   1. q ⇒ p
   2. ~q ⇒ r
   3. r ⇒ (p ∨ q)
6. Sean las proposiciones p: Está haciendo calor. q: Iré a la finca. r: Tengo tiempo. Escribí, usando conectivos lógicos, una proposición que simbolice cada una de las afirmaciones siguientes:
   1. Si no está haciendo calor y tengo tiempo, entonces iré a la finca.
   2. Iré a la finca sólo si tengo tiempo.
   3. No está haciendo calor.
   4. Está haciendo calor, y no iré a la finca.
7. Completá la siguiente tabla, de acuerdo a las definiciones dadas:

   p	q	~q	p ∧ q	p ∨ q	p ⊻ q	p ⇒ q	p ⇔ q
   V	V
   V	F
   F	V
   F	F

8. Construí la tabla de verdad de la proposición ~(p ∧ ~q).
9. En las siguientes condicionales, identificá el antecedente y el consecuente:
   1. Si las tasas de interés se mantienen fijas, los clientes podrán ampliar sus créditos.
   2. El número 432 es múltiplo de 6 puesto que es divisible entre 2 y entre 3.
   3. Carlos aprobará el parcial y podrá regularizar si estudia tres horas por día.
   4. La huelga continúa, pues no hay solución al conflicto.
10. Dado el condicional: “Si la inflación de octubre del 2015 en el país fue del 2,9%, en Mendoza fue del 3,5%”, escribí en forma coloquial y simbólica los condicionales asociados (recíproco, contrario y contrarrecíproco).
11. Escribí el recíproco y el contrarrecíproco de cada una de las siguientes:
    1. Si llueve en Santiago, no voy a clase.
    2. Me quedo a estudiar, sólo si tú te vas de la casa.
    3. Si tenés cien pesos, entonces podrás comprar las cartillas de la UNSE.
    4. No puedo completar la respuesta si no me ayuda el profesor particular.

Fuente: Guía Teórico-Práctica I — Unidad 1, Cátedra de Matemática (FHCS y S).